4.特殊矩阵-方块对角单位数量转置矩阵
4.1 知识点
主要讲解内容
方块矩阵
对角矩阵
单位矩阵
数量矩阵
转置矩阵
总结
4.2 练习题
验证任何矩阵 M 和单位矩阵 I 相乘的结果都是原来的矩阵这一规则
假设我们有一个矩阵 ( M )：
$$
M = \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{smallmatrix} \bigr)
$$
我们知道单位矩阵 ( I ) 是一个 ( 2 * 2 ) 的方阵，其对角线上的元素全为1，其余元素全为0：
$$
I = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
$$
现在，我们将矩阵 ( M ) 乘以单位矩阵 ( I )：
$$
M \cdot I = \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
$$
$$
= \bigl( \begin{smallmatrix} (2 \cdot 1 + 3 \cdot 0) & (2 \cdot 0 + 3 \cdot 1) \\ (4 \cdot 1 + 5 \cdot 0) & (4 \cdot 0 + 5 \cdot 1) \end{smallmatrix} \bigr)
$$
$$
= \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{smallmatrix} \bigr)
$$
我们可以看到，结果与矩阵 ( M ) 相同，证明了任何矩阵 ( M ) 乘以单位矩阵 ( I ) 的结果都是原来的矩阵。
验证矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置这一规则
假设我们有两个 ( 2 * 2 ) 的矩阵 ( A ) 和 ( B )，分别为：
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
$$
现在，我们计算矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相乘后的转置 ( (AB)^T )，以及各个矩阵转置相乘的结果 ( B^T A^T )：
首先，计算 ( AB )：
$$
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
$$
然后，计算 ( (AB)^T )：
$$
(AB)^T = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix}
$$
接下来，计算 ( B^T ) 和 ( A^T )：
$$
B^T = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
$$
接着计算 ( B^T A^T )：
$$
B^T A^T = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix}
$$
我们可以观察到，( (AB)^T ) 确实等于 ( B^T A^T )，这验证了矩阵相乘的转置规则 ( (AB)^T = B^T A^T )。
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