2.线性代数复习
2.1 概述
计算机图形学涉及数学、物理、信号处理和数值分析，其中线性代数是描述空间位置、方向与几何变换的基础。
主要涉及两类对象：向量（Vector）和矩阵（Matrix）。向量的点积、叉积负责处理方向和空间关系；矩阵则常用于描述旋转、缩放、错切等几何变换。
2.2 向量（Vector）
向量的表示
向量具有方向和长度，没有固定的起始位置。两个向量只要方向相同、长度相等，即使位置不同，仍然是同一个向量。
向量通常表示为 $\vec a$ 或粗体字母。给定起点 $A$ 和终点 $B$，对应向量为：
$$
\overrightarrow{AB}=B-A
$$
向量归一化
向量的长度称为模（Magnitude），记作 $|\vec a|$。长度为 $1$ 的向量称为单位向量（Unit Vector）。
将非零向量除以自身长度，即可得到同方向的单位向量，这一过程称为归一化（Normalization）：
$$
\hat a=\frac{\vec a}{|\vec a|}
$$
单位向量只保留方向，适合表示光照方向、表面法线等不需要长度的信息。
向量加法
向量相加有两种直观的几何表示：
- 平行四边形法则：将两个向量放在同一起点，平行四边形的对角线就是它们的和。
- 三角形法则：将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，就是相加的结果。
笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinates）
以两个相互垂直的单位向量 $\vec X$、$\vec Y$ 为基，可以用两个坐标表示二维向量。例如：
$$
\vec A=4\vec X+3\vec Y=\begin{pmatrix}4\3\end{pmatrix}
$$
图形学中通常使用列向量，转置后得到行向量。对于 $\vec A=(x,y)^T$，其长度为：
$$
|\vec A|=\sqrt{x^2+y^2}
$$
在同一坐标系下，向量相加只需将对应分量相加。
2.3 向量点积（Dot Product）
定义与计算
点积的结果是一个标量。设两个向量之间的夹角为 $\theta$：
$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta
$$
因此，可以根据点积计算两个非零向量的夹角：
$$
\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}
$$
如果两者都是单位向量，点积就等于夹角的余弦值。
点积满足交换律和分配律，例如 $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$。
在笛卡尔坐标系中，只需对应分量相乘，再将结果相加。以三维向量为例：
$$
\vec a\cdot\vec b=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b
$$
图形学中点积的作用
投影（Projection）
将 $\vec b$ 投影到 $\vec a$ 的方向上，投影向量与 $\vec a$ 平行。设 $\hat a$ 为 $\vec a$ 的单位向量：
$$
\vec b_{\mathrm{proj}}=(\vec b\cdot\hat a)\hat a
$$
剩余的垂直分量为：
$$
\vec b_{\mathrm{perp}}=\vec b-\vec b_{\mathrm{proj}}
$$
通过点积，可以将一个向量分解为沿指定方向和垂直该方向的两个分量。
点积的应用
- 计算夹角：例如光照方向与物体表面法线之间的夹角。
- 计算投影：将向量分解到指定方向。
- 判断方向：两个非零向量点积大于 $0$ 表示夹角为锐角，小于 $0$ 表示夹角为钝角，等于 $0$ 表示相互垂直。
对于两个单位向量，点积的结果在 $[-1,1]$ 之间。越接近 $1$，方向越一致；越接近 $-1$，方向越相反。
2.4 向量叉积（Cross Product）
性质
叉积的结果是一个向量，同时垂直于参与运算的两个向量，其方向由右手螺旋定则确定。
$$
|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta
$$
性质
叉积具有以下性质：
$$
\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a
$$
$$
\vec a\times\vec a=\vec 0
$$
交换叉积的两个向量，结果方向就会反转。 对右手坐标系中的单位基向量，有 $\vec X\times\vec Y=\vec Z$。
在笛卡尔坐标系
在笛卡尔坐标系中，叉积可以直接计算为：
$$
\vec a\times\vec b=
\begin{pmatrix}
y_az_b-z_ay_b\
z_ax_b-x_az_b\
x_ay_b-y_ax_b
\end{pmatrix}
$$
图形学中的叉积
对于位于 $xy$ 平面的两个向量，可以通过叉积的 $z$ 分量判断旋转方向：
- $\left(\vec a\times\vec b\right)_z>0$：从 $\vec a$ 转向 $\vec b$ 为逆时针方向。
- $\left(\vec a\times\vec b\right)_z<0$：从 $\vec a$ 转向 $\vec b$ 为顺时针方向。
这一性质可以判断点是否位于三角形内部。若三角形顶点 $A\rightarrow B\rightarrow C$ 按逆时针排列，则检查：
$$
\begin{aligned}
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP})_z&\ge 0\
(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BP})_z&\ge 0\
(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CP})_z&\ge 0
\end{aligned}
$$
三个条件同时满足，点 $P$ 位于三角形内部或边界上；如果顶点按顺时针排列，判断符号相反。
边界点算内部还是外部，需要统一约定。 这个判断是三角形光栅化的基础。
2.5 标准正交基与坐标系
三维空间中，三个长度为 $1$ 且两两垂直的向量，可以构成一组标准正交基（Orthonormal Basis）。
对于右手坐标系中的三个基向量 $\vec u$、$\vec v$、$\vec w$：
$$
|\vec u|=|\vec v|=|\vec w|=1
$$
$$
\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w=0,
\qquad \vec w=\vec u\times\vec v
$$
利用点积求投影，任意向量 $\vec p$ 都可以分解到这三个方向上：
$$
\vec p=(\vec p\cdot\vec u)\vec u
+(\vec p\cdot\vec v)\vec v
+(\vec p\cdot\vec w)\vec w
$$
一个场景中可能同时存在世界坐标系、物体局部坐标系等多个坐标系。它们之间的转换需要用到矩阵。
2.6 矩阵（Matrix）
什么是矩阵
矩阵乘法
矩阵是按行和列排列的数字集合。对于矩阵乘法，左侧矩阵的列数必须等于右侧矩阵的行数：
$$
A_{M\times N}B_{N\times P}=C_{M\times P}
$$
结果中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，等于左侧矩阵第 $i$ 行与右侧矩阵第 $j$ 列的点积。
例如，图中结果矩阵第 $2$ 行、第 $4$ 列的值为：$5\times4+2\times3=26$。
矩阵乘法通常不满足交换律，但满足结合律和分配律：
$$
AB\ne BA,\qquad (AB)C=A(BC)
$$
因此，组合多个几何变换时，矩阵相乘的顺序不能随意交换。
矩阵与向量相乘
将向量看成列矩阵，就可以使用矩阵乘法对它进行变换。例如，二维平面关于 $y$ 轴的镜像变换：
$$
\begin{pmatrix}-1&0\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-x\y\end{pmatrix}
$$
转置、单位矩阵与逆矩阵
- 转置（Transpose）：交换矩阵的行与列，记为 $A^T$。
- 单位矩阵（Identity Matrix）：主对角线元素为 $1$，其余为 $0$，记为 $I$。与合适维度的矩阵相乘不会改变原矩阵。
- 逆矩阵（Inverse Matrix）：对于可逆矩阵 $A$，其逆矩阵记为 $A^{-1}$，满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。
两个常用性质：
$$
(AB)^T=B^TA^T,
\qquad
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
$$
其中逆矩阵等式要求 $A$、$B$ 均可逆。转置与求逆应用于矩阵乘积时，都需要反转矩阵的顺序。
点积与叉积的矩阵形式
列向量的点积可以写成矩阵乘法：
$$
\vec a\cdot\vec b=\vec a^T\vec b
$$
叉积也可以写成矩阵形式。将 $\vec a=(x_a,y_a,z_a)^T$ 组织为反对称矩阵 $A^*$：
$$
A^*=\begin{pmatrix}
0&-z_a&y_a\
z_a&0&-x_a\
-y_a&x_a&0
\end{pmatrix},
\qquad \vec a\times\vec b=A^*\vec b
$$
课件将 $A^*$ 称为 Dual Matrix。这一形式在后续旋转变换的推导中还会用到。
2.7 总结
- 点积得到标量，主要用于计算夹角、投影，以及判断两个方向之间的关系。
- 叉积得到垂直于两个输入向量的新向量，可以判断左右关系，以及点是否位于三角形内部。
- 标准正交基通过互相垂直的单位向量建立坐标系，利用点积将向量分解到不同坐标轴上。
- 矩阵用统一的数学形式描述几何变换；矩阵乘法的顺序不能随意交换。
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