3.变换

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  1. 3.变换
    1. 3.1 概述
    2. 3.2 为什么要学习变换
    3. 3.3 二维变换
      1. 缩放（Scale）
      2. 反射（Reflection）
      3. 剪切（Shear）
      4. 旋转（Rotation）
      5. 线性变换（Linear Transformation）
    4. 3.4 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
      1. 为什么需要齐次坐标
      2. 点与向量的齐次表示
      3. 仿射变换（Affine Transformation）
      4. 逆变换（Inverse Transform）
    5. 3.5 组合变换（Composing Transforms）
      1. 变换顺序
      2. 组合多个变换
      3. 复杂的变换分解
    6. 3.6 三维变换
    7. 3.7 作业 0
      1. 作业要求
      2. 环境与工程
      3. 完成变换
      4. 核心代码
      5. 完整代码
        1. CMakeLists.txt
        2. main.cpp
    8. 3.8 总结

3.变换

3.1 概述

变换（Transformation）用于描述物体、相机或坐标在空间中的变化。

核心思路是把几何变换和矩阵运算联系起来，最终用统一的矩阵形式描述物体在空间中的变化。

3.2 为什么要学习变换

变换主要有两类用途：

  • 建模（Modeling）：通过平移、旋转、缩放等操作改变物体的位置、姿态和大小。
  • 观察（Viewing）：描述相机和投影过程，把三维世界转换为二维图像。

从三维世界到二维图像的过程称为投影（Projection），也是后续观察变换的重要基础。

3.3 二维变换

缩放（Scale）

二维点 \((x,y)\) 分别沿 \(x\)、\(y\) 方向缩放 \(s_x\)、\(s_y\) 后：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
s_x&0\\
0&s_y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

当 \(s_x=s_y\) 时是均匀缩放（Uniform Scale）；两者不同时是非均匀缩放（Non-Uniform Scale）。

反射（Reflection）

例如关于 \(y\) 轴镜像，只改变 \(x\) 坐标的符号：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

剪切（Shear）

图中的水平剪切保持 \(y\) 不变，\(x\) 的偏移量随 \(y\) 增大：

\[
x’=x+ay,\qquad y’=y
\]

因此矩阵为：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1&a\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

旋转（Rotation）

默认讨论绕原点逆时针旋转 \(\theta\)：

设旋转矩阵为：

\[
R(\theta)=
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\]

旋转矩阵不需要死记，可以直接从两个二维基向量推出来。

先看 \(x\) 轴方向的单位向量：

\[
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
\]

逆时针旋转 \(\theta\) 后，向量长度仍然为 \(1\)，根据三角函数关系，它的新坐标为：

\[
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{pmatrix}
\]

另一方面：

\[
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
A\\
C
\end{pmatrix}
\]

因此：

\[
A=\cos\theta,\qquad C=\sin\theta
\]

也就是说，旋转矩阵的第一列，就是 \((1,0)^T\) 旋转后的结果。

再看 \(y\) 轴方向的单位向量：

\[
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\]

逆时针旋转 \(\theta\) 后，其方向相当于 \(\frac{\pi}{2}+\theta\)，因此：

\[
\begin{pmatrix}
\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\\
\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-\sin\theta\\
\cos\theta
\end{pmatrix}
\]

同时：

\[
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
B\\
D
\end{pmatrix}
\]

所以：

\[
B=-\sin\theta,\qquad D=\cos\theta
\]

最终得到二维旋转矩阵：

\[
R(\theta)=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\]

核心就是看两个基向量旋转后去了哪里，它们的结果分别组成旋转矩阵的第一列和第二列。

线性变换（Linear Transformation）

缩放、反射、剪切和旋转都可以统一写成：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\]

即：

\[
\mathbf{x}’=M\mathbf{x}
\]

能够写成同维矩阵乘向量形式的这些变换，都属于线性变换。

3.4 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

为什么需要齐次坐标

平移和前面的线性变换不同：

\[
x’=x+t_x,\qquad y’=y+t_y
\]

这里多出了常量 \(t_x\)、\(t_y\)，无法仅使用普通的 \(2\times2\) 矩阵乘法表示。

也就是说，平移不是二维空间中的线性变换。为了把平移也统一成矩阵乘法，引入齐次坐标。

点与向量的齐次表示

二维坐标增加一个 \(w\) 分量：

  • 点（Point）：\((x,y,1)^T\)
  • 向量（Vector）：\((x,y,0)^T\)

于是平移可以写成：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1&0&t_x\\
0&1&t_y\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
x+t_x\\
y+t_y\\
1
\end{pmatrix}
\]

对于二维向量 \(\vec v=(v_x,v_y)^T\)，齐次坐标表示为：

\[
\begin{pmatrix}
v_x\\
v_y\\
0
\end{pmatrix}
\]

使用同一个平移矩阵：

\[
\begin{pmatrix}
v_x^{\prime}\\
v_y^{\prime}\\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1&0&t_x\\
0&1&t_y\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_x\\
v_y\\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
v_x\\
v_y\\
0
\end{pmatrix}
\]

因为：

\[
v_x’=v_x+t_x\cdot0=v_x
\]

\[
v_y’=v_y+t_y\cdot0=v_y
\]

所以，平移不会改变向量。
向量的 \(w=0\)，因此平移矩阵不会改变向量。这也符合向量只有方向和长度，没有绝对位置的含义。

齐次坐标下：

  • 向量 + 向量 = 向量
  • 点 - 点 = 向量
  • 点 + 向量 = 点

对于 \((x,y,w)^T\)，只要 \(w\neq0\)，都可以整体除以 \(w\)，规范化为：

\[
\begin{pmatrix}
x/w\\
y/w\\
1
\end{pmatrix}
\]

两个点直接相加会得到 \(w=2\)，重新归一化后对应两个点的中点。

仿射变换（Affine Transformation）


仿射变换 = 线性变换 + 平移。

二维仿射变换统一写成：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a&b&t_x\\
c&d&t_y\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
1
\end{pmatrix}
\]

左上角的 \(2\times2\) 部分描述线性变换，最后一列描述平移。

逆变换（Inverse Transform）

如果矩阵 \(M\) 表示一个可逆变换，那么 \(M^{-1}\) 表示它的逆变换：

\[
M^{-1}M=I
\]

几何意义很直接：先做 \(M\)，再做 \(M^{-1}\)，物体会回到原来的状态。

3.5 组合变换（Composing Transforms）

变换顺序

多个简单变换可以组合成复杂变换，但顺序不能随意交换。
例如先旋转再平移，与先平移再旋转，最终结果通常不同：

\[
R\,T\neq T\,R
\]

使用列向量并把矩阵乘在左侧时，矩阵按从右到左的顺序作用。

例如：

\[
\mathbf{p}’=T_{(1,0)}R_{45^\circ}\mathbf{p}
\]

表示先对 \(\mathbf p\) 旋转 \(45^\circ\)，再沿 \(x\) 方向平移一个单位。

组合多个变换

连续进行 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\)：

\[
\mathbf{p}’=A_n\cdots A_2A_1\mathbf{p}
\]

矩阵乘法满足结合律，因此可以先把多个变换矩阵相乘，得到一个组合矩阵，再用于后续计算。

复杂的变换分解

比如我们想绕任意点 \(\mathbf c\) 旋转，可以拆成三步：

  1. 将 \(\mathbf c\) 平移到原点。
  2. 绕原点旋转。
  3. 平移回原位置。

矩阵形式为：

\[
T(\mathbf c)\,R(\theta)\,T(-\mathbf c)
\]

最右边的 \(T(-\mathbf c)\) 最先执行。

3.6 三维变换

二维齐次坐标可以直接推广到三维：

  • 三维点：\((x,y,z,1)^T\)
  • 三维向量：\((x,y,z,0)^T\)

三维仿射变换使用 \(4\times4\) 矩阵：

\[
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}\\
z^{\prime}\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a&b&c&t_x\\
d&e&f&t_y\\
g&h&i&t_z\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
1
\end{pmatrix}
\]

其中：

  • 左上角 \(3\times3\) 矩阵表示三维线性变换。
  • 最后一列 \((t_x,t_y,t_z)^T\) 表示平移。
  • 最后一行保持 \((0,0,0,1)\)。

直接展开可以看出，这种矩阵表示的是先做线性变换，再做平移。

3.7 作业 0

作业要求

给定二维点：

\[
P=(2,1)
\]

先绕原点**逆时针旋转 \(45^\circ\)**，再平移 \((1,2)\)，使用齐次坐标计算最终位置。

这道题正好把前面学过的旋转、平移、齐次坐标和组合变换写一遍代码。

环境与工程

我这里使用：

  • Visual Studio 2026
  • CMake
  • Eigen 3.4.0

Visual Studio 用来写代码、调试和运行，C++ 实际由其中的 MSVC 编译。

CMake 用来描述项目怎么构建，例如有哪些源文件、头文件去哪里找、最后生成什么程序。配置主要写在 CMakeLists.txt 中。

Eigen 是 C++ 线性代数库，后面的向量和矩阵运算都直接用它。Eigen 是 header-only 的，配置好头文件路径就可以使用。

本地 Eigen：

D:\Software\EIGEN\eigen-3.4.0

作业目录：

E:\GameDevelopment\GameDevelopmentLearning\GAMES\101\HomeWork\HomeWork0\pa0

原始工程：

pa0
├── CMakeLists.txt
├── main.cpp
└── pa0.pdf
  • pa0.pdf：作业说明。
  • main.cpp：代码框架。
  • CMakeLists.txt：CMake 构建配置。

原始 CMakeLists.txt：

cmake_minimum_required(VERSION 2.8.11)      # 要求最低 CMake 版本为 2.8.11

project(Transformation)                    # 项目名称为 Transformation

find_package(Eigen3 REQUIRED)              # 查找 Eigen3，找不到则停止配置

include_directories(EIGEN3_INCLUDE_DIR)    # 添加 Eigen 头文件搜索目录

add_executable(Transformation main.cpp)    # 使用 main.cpp 生成 Transformation 可执行程序

官方环境已经配置好了 Eigen，我这里是 Windows 本地直接下载的，所以改成：

cmake_minimum_required(VERSION 3.15)                       # 最低使用 CMake 3.15

project(Transformation LANGUAGES CXX)                     # 创建 C++ 项目 Transformation

set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)                                # 使用 C++17

set(CMAKE_CXX_STANDARD_REQUIRED ON)                       # 必须支持指定的 C++17 标准

include_directories("D:/Software/EIGEN/eigen-3.4.0")     # 添加 Eigen 头文件搜索目录

add_executable(Transformation main.cpp)                   # 使用 main.cpp 生成可执行程序

if(MSVC)                                                  # 当前编译器是 MSVC 时
    target_compile_options(Transformation PRIVATE /utf-8) # 使用 UTF-8 读取源码
endif()

这里 Eigen 路径写到：

D:/Software/EIGEN/eigen-3.4.0

代码中就可以直接：

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>

配置时还碰到了 C4819，中文注释在当前代码页下无法正常处理，所以给 MSVC 加了 /utf-8。

main.cpp 里已经给了一些 Eigen 的基础示例，例如：

Eigen::Vector3f v(1.0f, 2.0f, 3.0f);
Eigen::Vector3f w(1.0f, 0.0f, 0.0f);

std::cout << v + w << std::endl;
std::cout << v * 3.0f << std::endl;

Eigen::Matrix3f matrix;

其中：

  • Vector3f：3 个 float 组成的列向量。
  • Matrix3f：\(3\times3\) 的 float 矩阵。

环境跑通后开始写题。

完成变换

原始点：

\[
P=(2,1)
\]

二维点写成齐次坐标：

\[
P=
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1
\end{pmatrix}
\]

代码：

Eigen::Vector3f point(2.0f, 1.0f, 1.0f);

C++ 的 sin、cos 使用弧度，所以先把 \(45^\circ\) 转成弧度：

const float pi = std::acos(-1.0f);
const float angle = 45.0f / 180.0f * pi;

旋转矩阵：

\[
R=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta&0\\
\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\]

对应代码：

Eigen::Matrix3f rotationMatrix;

rotationMatrix <<
    std::cos(angle), -std::sin(angle), 0.0f,
    std::sin(angle),  std::cos(angle), 0.0f,
    0.0f,             0.0f,            1.0f;

平移 \((1,2)\)：

\[
T=
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\]

对应：

Eigen::Matrix3f translationMatrix;

translationMatrix <<
    1.0f, 0.0f, 1.0f,
    0.0f, 1.0f, 2.0f,
    0.0f, 0.0f, 1.0f;

题目要求先旋转，再平移。

使用列向量时矩阵从右往左执行：

\[
P^{\prime}=TRP
\]

所以直接写：

Eigen::Vector3f result =
    translationMatrix * rotationMatrix * point;

核心代码

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    // 原始点 P = (2, 1)
    Eigen::Vector3f point(2.0f, 1.0f, 1.0f);

    // 45 度转弧度
    const float pi = std::acos(-1.0f);
    const float angle = 45.0f / 180.0f * pi;

    // 逆时针旋转矩阵
    Eigen::Matrix3f rotationMatrix;

    rotationMatrix <<
        std::cos(angle), -std::sin(angle), 0.0f,
        std::sin(angle),  std::cos(angle), 0.0f,
        0.0f,             0.0f,            1.0f;

    // 平移矩阵
    Eigen::Matrix3f translationMatrix;

    translationMatrix <<
        1.0f, 0.0f, 1.0f,
        0.0f, 1.0f, 2.0f,
        0.0f, 0.0f, 1.0f;

    // 先旋转，再平移
    Eigen::Vector3f result =
        translationMatrix * rotationMatrix * point;

    std::cout << result << std::endl;

    return 0;
}

运行结果：

1.70711
4.12132
1

最后的 1 是齐次坐标的 \(w\) 分量，所以最终二维坐标为：

\[
P^{\prime}=(1.70711,\ 4.12132)
\]

手算也可以验证。

旋转 \(45^\circ\)：

\[
x^{\prime}=2\cos45^\circ-\sin45^\circ
\]

\[
y^{\prime}=2\sin45^\circ+\cos45^\circ
\]

得到：

\[
(0.7071,\ 2.1213)
\]

再平移 \((1,2)\)：

\[
(0.7071+1,\ 2.1213+2)
\]

得到：

\[
(1.7071,\ 4.1213)
\]

作业 0 主要就是熟悉 Eigen 的矩阵、向量操作，并把前面的组合变换实际写出来：

\[
P^{\prime}=TRP
\]

完整代码

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.15)                       # 最低使用 CMake 3.15

project(Transformation LANGUAGES CXX)                     # 创建 C++ 项目 Transformation

set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)                                # 使用 C++17

set(CMAKE_CXX_STANDARD_REQUIRED ON)                       # 必须支持指定的 C++17 标准

include_directories("D:/Software/EIGEN/eigen-3.4.0")     # 添加 Eigen 头文件搜索目录

add_executable(Transformation main.cpp)                   # 使用 main.cpp 生成可执行程序

if(MSVC)                                                  # 当前编译器是 MSVC 时
    target_compile_options(Transformation PRIVATE /utf-8) # 使用 UTF-8 读取源码
endif()

main.cpp

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    // ============================================================
    // 一、C++ 基础示例
    // ============================================================

    std::cout << "===== C++ Basic Example =====\n"; // C++ 基础示例

    float a = 1.0f;
    float b = 2.0f;

    std::cout << a << std::endl; // 1
    std::cout << a / b << std::endl; // 0.5
    std::cout << std::sqrt(b) << std::endl; // 1.41421
    std::cout << std::acos(-1.0f) << std::endl; // 3.14159
    std::cout << std::sin(30.0f / 180.0f * std::acos(-1.0f)) << std::endl; // 0.5


    // ============================================================
    // 二、Eigen 向量示例
    // ============================================================

    std::cout << "\n===== Vector Example =====\n"; // 向量示例

    // 定义两个三维列向量
    Eigen::Vector3f vectorV(1.0f, 2.0f, 3.0f);
    Eigen::Vector3f vectorW(1.0f, 0.0f, 0.0f);

    std::cout << vectorV << std::endl; // (1, 2, 3)

    std::cout << vectorV + vectorW << std::endl; // (2, 2, 3)

    std::cout << vectorV * 3.0f << std::endl; // (3, 6, 9)

    std::cout << 2.0f * vectorV << std::endl; // (2, 4, 6)


    // ============================================================
    // 三、Eigen 矩阵示例
    // ============================================================

    std::cout << "\n===== Matrix Example =====\n"; // 矩阵示例

    // 定义两个 3x3 矩阵
    Eigen::Matrix3f matrixI;
    Eigen::Matrix3f matrixJ;

    matrixI <<
        1.0f, 2.0f, 3.0f,
        4.0f, 5.0f, 6.0f,
        7.0f, 8.0f, 9.0f;

    matrixJ <<
        2.0f, 3.0f, 1.0f,
        4.0f, 6.0f, 5.0f,
        9.0f, 7.0f, 8.0f;

    std::cout << matrixI << std::endl;

    std::cout << matrixI + matrixJ << std::endl;

    std::cout << matrixI * 2.0f << std::endl;

    std::cout << matrixI * matrixJ << std::endl;

    std::cout << matrixI * vectorV << std::endl;


    // ============================================================
    // 四、GAMES101 作业 0
    // ============================================================

    std::cout << "\n===== GAMES101 Homework 0 =====\n"; // 作业 0

    // 题目：
    // 给定二维点 P = (2, 1)
    // 先绕原点逆时针旋转 45 度
    // 再平移 (1, 2)
    // 使用齐次坐标完成变换


    // ------------------------------------------------------------
    // 1. 原始点
    // ------------------------------------------------------------

    // 二维点 P = (2, 1)
    // 齐次坐标 P = (2, 1, 1)
    Eigen::Vector3f point(2.0f, 1.0f, 1.0f);


    // ------------------------------------------------------------
    // 2. 角度转换为弧度
    // ------------------------------------------------------------

    const float pi = std::acos(-1.0f);

    const float angle =
        45.0f / 180.0f * pi;


    // ------------------------------------------------------------
    // 3. 旋转矩阵
    // ------------------------------------------------------------

    // 二维齐次旋转矩阵：
    //
    // | cos(theta)  -sin(theta)  0 |
    // | sin(theta)   cos(theta)  0 |
    // |      0            0      1 |
    //
    Eigen::Matrix3f rotationMatrix;

    rotationMatrix <<
        std::cos(angle), -std::sin(angle), 0.0f,
        std::sin(angle), std::cos(angle), 0.0f,
        0.0f, 0.0f, 1.0f;


    // ------------------------------------------------------------
    // 4. 平移矩阵
    // ------------------------------------------------------------

    // x 方向平移 1
    // y 方向平移 2
    //
    // | 1  0  1 |
    // | 0  1  2 |
    // | 0  0  1 |
    //
    Eigen::Matrix3f translationMatrix;

    translationMatrix <<
        1.0f, 0.0f, 1.0f,
        0.0f, 1.0f, 2.0f,
        0.0f, 0.0f, 1.0f;


    // ------------------------------------------------------------
    // 5. 组合矩阵
    // ------------------------------------------------------------

    // 先旋转，再平移
    //
    // P' = T * R * P
    //
    Eigen::Matrix3f transformMatrix =
        translationMatrix * rotationMatrix;


    // ------------------------------------------------------------
    // 6. 计算最终点
    // ------------------------------------------------------------

    Eigen::Vector3f result =
        transformMatrix * point;


    // ------------------------------------------------------------
    // 7. 输出
    // ------------------------------------------------------------

    std::cout << point << std::endl; // (2, 1, 1)

    std::cout << angle << std::endl; // 0.785398

    std::cout << rotationMatrix << std::endl; // R

    std::cout << translationMatrix << std::endl; // T

    std::cout << transformMatrix << std::endl; // T * R

    std::cout << result << std::endl; // (1.70711, 4.12132, 1)

    return 0;
}

3.8 总结

  • 线性变换可以统一表示为矩阵乘向量，缩放、反射、剪切和旋转都属于这一类。
  • 平移不是普通线性变换，齐次坐标通过增加一个维度，将平移也统一进矩阵表示。
  • 仿射变换 = 线性变换 + 平移。
  • 变换顺序很重要，使用列向量时矩阵从右向左执行。
  • 二维仿射变换使用 \(3\times3\) 齐次矩阵，三维仿射变换使用 \(4\times4\) 齐次矩阵。
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